Perneczky Géza

FRAKTÁLOK ÉS 
ESEMÉNYMINTÁK

SOFTGEOMETRY

1998

Ez a könyv eredetileg a Kijárat Kiadó Teve Könyvek 
sorozatában jelent meg 1998-ban Budapesten.
A jelen átdolgozás lényegtelen változtatásokkal
ennek a kötetnek az A/4-es formátumú változata.
© Perneczky Géza, 1998

Előszó

Valamikor tíz-tizenöt évvel ezelőtt olvastam egy játék autó nagyságú, kerekeken guruló automatáról, melyet tervezője, egy középiskolai versenyen induló diák úgy programozott be, hogy a készülék ide-oda tologatva hármas csoportokba rendezze a padlón szétszórtan heverő üres konzervdobozokat. A guruló szerkezet azonban azután is tovább dolgozott, hogy a feladatával elkészült; elkezdte újra felbontani és átcsoportosítani a hármas csoportokat. Addig küszködött és szorgoskodott, amíg olyan eredményre nem jutott, melyre eredetileg egyáltalán nem volt beprogramozva, nevezetesen: újra egyetlen nagy kupaccá hordta össze a konzervdobozokat.

Az első pillanatban talán azt gondolnánk, hogy a robot egy idő után a hármas csoportokat kezdte egységnek tekinteni, majd a kilenc dobozból álló halmokat, és így tovább – négyzetes arányban haladva – a végtelenségig. De nem ez történt, hiszen mind a látótere, mind pedig a karjai sokkal szűkebbek voltak annál, semhogy erre képes lett volna (arról nem is szólva, hogy háromnál tovább különben sem tudott számolni). Mivel a robot képtelen volt áttekinteni az egész munkaterepet, és mindig csak egy sarkát “látta” annak, amin éppen dolgozott, maga az elemi feladat rejtette magában a végtelen akkumulálódás lehetőségét. Az automata csak azt észlelte, hogy akármerre fordult, mindig talált egy, a másik kettőhöz nem eléggé közel fekvő konzervdobozt. Mivel nem volt beállítva, hogy mikor hagyja abba a munkát, a beleépített program és a külső helyzet, a sok-sok konzervdobozból variálódó elrendezés, e két tényező együtt egy visszacsatolásos rendszert alkotott, és ezzel az egész munkafolyamat is sokkal bonyolultabbá vált. Az eredmény: a program, mintha csak evolúción esett volna át, menet közben sokkal gazdagabbá vált, megváltozott.

Ez az apró példa volt számomra az egyik első mellbevágó bizonyíték arra, hogy mennyire félreismertük eddig a világot. Nem a távoli és bonyolult célokat követő, okoskodóan agyafúrt és sokemeletes elképzelések szerint bonyolódnak a dolgok, hanem olyan nagyon egyszerű utasítások alapján, melyek ha egyszer működésbe léptek és felvették a környezettel is a kapcsolatot, a továbbiakban már önerejükből képesek tovább szerveződni és nehezen követhető, komplex programokká fejlődni. Így történhet meg aztán a legegyszerűbb automatával is az, amit különben a mindennapi életben állandóan tapasztalunk, tudniillik, hogy már két-három lépés után is megeshet vele, hogy előre nem látható, komplikáltabb útra tér. Úgy tűnik, hogy az ember a maga analógiás gondolkodásmódjával – mindig a kész eredményre, magyarán: az emberi megismerés végtermékeitől kölcsönzött képekre épül – túlságosan is elszakadt az univerzum eredeti munkamódszerétől, mely éppen az ellenkező metódust, az elemi utasítások önszervező erejének kimeríthetetlen változatosságát és energiáját követi. És ne áltassuk magunkat azzal, hogy ami a természetre nézve igaz, az nem lehet igaz az emberi lélekre vagy a társadalomra nézve. Neumann János játékelmélete óta tudjuk, hogy a végtelenül gazdag variációkat felölelő emberi cselekvésnek is megvannak a maga egészen alapvető és meghökkentő következményekkel járó, mi több, matematikai formulákkal is leírható rugói (aki nem hiszi, olvasson utána Mérő László könyvében: Mindenki másként egyforma. Terricum Kiadó, 1996).

E kis kötet írásai Neumann János egy másik felfedezésének, a komputernek köszönhetik létrejöttüket. Alapjában véve itt is az egyszerű utasítások “végtelenségig” való bonyolításáról van szó, méghozzá egészen elemi fokon, hisz a komputer tulajdonképpen nem intelligensebb, mint a fenti történetben szereplő játék automata, csak legfeljebb nagyságrendekkel több utasítás rendszert tud igen rövid idő leforgása alatt követni vagy egymással kombinálni. Szemben a játékelmélettel – ami a “véletlennek” és a “valószínűnek” is teret ad, és így egészen irracionális színezetű mozzanatokat is magába foglalhat –, a ma használatos komputerek esetében tényleg csak a legszigorúbban determinált utasítások juthatnak szóhoz. Az olvasó, ha az itt publikált cikkeket olvasva eljut például a Lindenmayer-fraktálok leírásáig, akkor a “teknőc-módszer” leírásánál rá fog ismerni a fentebb említett automata egyik lehetséges változatára, illetve az ilyen automaták működését szabályozó igen szigorú determinációra – és látni fogja, hogy a különbség csak annyi, hogy a fraktálok eme családjánál nem konzervdobozok rendezgetéséről van szó, hanem geometriai elemek (egyenes szakaszok és hajlásszögek) szűnni nem akaró tologatásáról vagy összeadásáról.

Primitív módszer? Ha valaki már látott olyan pazar nyomású színes fraktálgrafikákat, amilyeneket a mienkénél sokkal költségesebb kiállítású kötetek szoktak néha közölni, egyetért majd a szerző véleményével: az iterációs módszerekre (magyarán: visszacsatolásos ismétlésre) épülő grafikák (például a Mandelbrot- és Julia-halmazok részlet-képei) komplexitásukat és vizuális szépségüket tekintve néha messze meghaladják a “szabad fantázia” által létrehozott “művészi” alkotásokat is. Aminek elismerésével még nem köteleztük el magunkat a mellett, hogy a komputer által létrehozott fraktálképek esetében azonnal és feltétlenül művészetről lenne szó.

Mi hát tulajdonképpen a különbség egyrészt a művészet, másrészt pedig a természet vagy a matematika által létrehozott “szép” formák között? Mennyiben sorolható a hagyományos értelemben vett kultúrához a digitális technika által létrehozott és rohamosan terjedő újfajta vizualitás? Hol a határ a mechanikusan ismétlődő műveletekből kibontakozó, lélegzetelállítóan gazdag komplexitás és az embert mint történelemmel rendelkező társadalmi lényt is foglalkoztató művészi élmény között? Mindezek a kérdések előbb-utóbb felmerülnek akkor, amikor komputer-generált képekkel, vagy komputeren animált film-szekvenciákkal találkozunk, és a választ a nagyközönség – érthető módon – nem a technika szakembereitől, hanem inkább a művészettörténésztől várja.

Meg kell azonban vallanom, hogy amikor 1992-ben a saját költségemen – és a nemzetközi mezőnyhöz mérten roppant elkésetten – egy kis könyvecskét publikáltam a fraktálgrafikákról (amiről sajnos azóta az is kiderült, hogy nemcsak az első, hanem egyúttal hosszú évekre az utolsó magyar nyelvű önálló kiadvány volt ebben a témakörben), akkor elsősorban nem ilyen didaktikus feladatokat tartottam szem előtt, hanem egészen egyszerűen a felfedezés izgalma foglalkoztatott, valamint az a gyermeki öröm, hogy én is tudok a komputeremen hasonló dolgokat produkálni – ezt az élményt akartam a barátaimmal és ismerőseimmel megosztani. A füzet címéhez – Mire jó a fraktálfilozófia? – már inkább csak óvatosságból fűztem hozzá a kiegészítést: A nyelvről, a komputerről, a fraktálokról, a káoszelméletről és a modernizmus válságáról a művészettörténész szemével.

De hiába, mert ahogy az ilyenkor lenni szokott, a publikációt mindenki nehézményezte: a nyelvészek, a komputer-szakemberek, a matematikusok és a filozófusok – csupán az olvasóközönség szeretett volna több példányt vagy még inkább egy újabb kiadást az alig 300 példányban megjelentetett füzetből. Erre azonban azért nem szántam rá magam, mert beláttam, hogy túl sokat markoltam – pár tucat oldalon tényleg nem lehet a világot vagy a káoszelméletet megváltani. Helyette inkább az azóta írt cikkeimet adom itt közre, amelyek az igen változatos témakörnek csupán egy-egy aspektusát tárgyalják szerényebb, inkább a művészettörténészt megillető alapállásból. Valamennyi az elmúlt 3-4 évben született, és jelen, e kötethez igazított formájában most jelent meg először.

Az 1992-es ominózus “fraktálfilozófiából” ebbe a válogatásba csupán a függelékként odabiggyesztett matematikai alapvetést vettem át kissé kibővítve – és itt is a kötet vége felé találkozik majd vele az olvasó. Szeretném azonban a lelkére kötni, hogy ezt a függeléket – “Néhány szó a fraktálokról” – tekintse inkább bevezetőnek, sőt olvassa el, ha teheti, később is, menet közben akár többször is, mert a nélkül a minimális matematikai ismeretanyag nélkül, amit ebben a fejezetben talál, csak ködös érzelmi benyomásai lehetnek majd mindarról, ami az iterált geometriai formákkal vagy a káoszelmélettel kapcsolatos. Ennél jobb megközelítés – és élvezetesebb szórakozás – már csak az lenne, ha egy jó szoftver segítségével, mint amilyen például a Fractint (és esetleg az e kötetben is ajánlott idegen nyelvű szakirodalomba is belekóstolva) maga is megpróbálna különböző fraktálokat generálni. (Ami az általam is használt fraktálgeneráló szoftvert illeti, a legcélravezetőbb az interneten keresni a "fractint", illetve – a program megalkotóinak kódjelét megadva, a "ston soup group" címszavak alapján.)

Gépre teszem a labirintomat Gondolkodni érdekesebb, mint tudni,
de messze nem olyan érdekes, mint látni.

(J. W. von Goethe) Számelmélet számok nélkül:
a szalagok polifóniája

A nyolcvanas évek közepén egy időre le kellett mondjak arról, hogy tágas műteremben dolgozhassak, és ekkor, helyszűke miatt, kis formátumú műfajokkal kezdtem foglalkozni.

Olyan könyveket építettem, amelyekben szöveg helyett színes textilszalagok futottak lapról lapra, mégpedig úgy, hogy a lapok szabályos rács formájában át voltak lyukasztva, mintha csak mátrix-síkok lennének az ilyen síkokra jellemző, skaláris beosztást jelző pontokkal, és e pontok, illetve lyukak szolgáltak arra, hogy a szalagok átbújhassanak rajtuk. Az átbújás helye és sorrendje azonban bizonyos szabályokat követett, szigorúan determinált volt, – éppen a mátrix használatának megkötöttsége tette érdekessé az egész munkát. Lapról lapra haladva egy-egy szalag egy bizonyos utat járt be így a térben, a következő szalag pedig egy lap késéssel követte lyukról lyukra haladva ugyanazt a térbeli alakzatot. Voltak aztán olyan szalagok is, amelyek ennek tükörképét írták le mozgásukkal, mások meg hátulról visszafelé haladva rajzolták ki a választott formát.

Minden egyes így elké)szült könyv más témára, más mozgásképletre épült. Hamar rájöttem arra, hogy még akkor is, ha egy-egy oldalra viszonylag kisszámú mátrix-pontot fúrok, igen nagy a szalagok fűzésének variációs lehetősége, a rendelkezésre álló anyagot, időt és türelmet tekintve szinte végtelen. És így marad ez még akkor is, ha a polifónia vagy az ellenpontozás szabályait betartva sok szalagot fűzök át a könyvön, s ezzel csökkentettem az üresen maradó lyukak számát, s vele a rendelkezésre álló mozgásszabadságot. A fonás közben adódó nehézségek persze megnőttek, leküzdésük pedig igen érdekesnek ígérkezett. Talán ezzel magyarázható, hogy elkapott a szenvedély, hogy mégis minél többet fonjak ki a kínálkozó kombinációkból. Mivel azonban a könyvek igen sok türelmet igényeltek, végül is úgy egyeztem ki magammal, hogy Johann Sebastian Bach Wohltemperiertes Klavierjának mintájára először egy huszonnégy munkából álló sorozatot készítek, mégpedig a viszonylag egyszerűbb fonásmintáktól az egyre komplikáltabbak és polifonabb felépítésűek felé haladva.

Mikor elkészültem a “huszonnégy praeludiummal” – tulajdonképpen inkább kánonhoz vagy fúgához hasonlítottak –, kigondoltam egy írásmódot, mellyel az egészet lekottázhattam. Aztán az eredeti könyveket – megtoldva a “kottás” füzet sokszorosított példányaival, melyek az egész sorozatot dokumentálták – szétosztottam a barátaim és néhány múzeum között. Nagyon büszke vagyok rá, hogy még a New York-i Museum of Modern Art művészkönyv-gyűjteményének a vezetője is hosszabb levélben köszönte meg a küldeményt, és rögtön fölvetette azt az – egyébként kivitelezhetetlen – gondolatot (hiszen a kötetek a mazúri tavaktól a dél-amerikai kontinensig szóródtak szét), hogy egy idő után talán újra össze kellene szedni a huszonnégy könyvet, és hányattatásaik történetével együtt ki kellene állítani őket náluk.

Először úgy tekintettem ezekre a könyvekre, mint annak a játéknak a “gutenbergi” változataira, amit a két keze között kifeszített és ide-oda hurkolt zsinórral játszik az ember (a neve “levevős”, mert ketten játsszák, és a másik “leveszi” a zsinórkompozíciót, miközben át is alakítja kissé a struktúráját, de hívják “macskabölcsőnek” is az alakja után). Tulajdonképpen csak a fonásminták lekottázása közben jöttem rá arra, hogy az egész munka a zenei polifónián – mint előképen – keresztül visszavezet a matematikához. Mikor a sorozatot koncentráltabb (és ezért strukturálisan is tömörebb) formában később tovább folytattam (ez az újabb ciklus ez idő szerint kb. hatvan kötetre rúg), a lekottázás helyett egyszerűbbnek tűnt megkeresni az egyes fonásminták struktúráját leíró matematikai kódot. Meg is kértem az öcséimet – mindkettő természettudományokkal foglalkozó kutató –, hogy segítsenek a képletek logikájának felírásában. Meglepett arcot vágtak, s aztán közölték, hogy nem tudnak segíteni, mert a probléma tulajdonképpen topográfiai természetű. Márpedig az egy nagyon nehéz terület, amelyben csak néhány specialista ismeri ki igazán jól magát.

Gábor öcsém, aki okkult dolgok iránt is érdeklődik, mégis hajlandónak mutatkozott arra, hogy egy darabig elkísérjen a Nagy Feladat felé vezető úton, és némi gondolkodás után azt javasolta, hogy próbáljam meg a lyukakból álló mátrixot – gondolatban – egy gyűrűre (a geometria nyelvén: egy tóruszra) átvinni, ami biztosíthatja, hogy a rács végtelen legyen. Ezután pedig ismételjem meg a fonást a gyűrű végtelen lyukrendszerén, ameddig csak akarom, végül pedig (ha tényleg könyvet akarok csinálni belőle) – még mindig gondolatban – vágjam szét a gyűrűket úgy, hogy sík lappá nyíljanak ki.

Az ilyen önterében maradó és saját kódja foglyaként forgó fonásmintából előbb-utóbb fraktál lesz, fraktálokat pedig igazán könnyű manapság matematikailag is definiálni. Egy modell keresése:
úton a botanikától a mikroelektronikáig

Akkor már volt komputerem, sőt fraktálgeneráló programom is, a Fractint. A program mindent tudott, de én elsősorban mégis csak a Mandelbrot-halmazt és rokonságát favorizáltam, vagyis a dinamikus káosz természetét tükröző fraktálokat, mert ezek voltak divatosak, vizuálisan is fantasztikusak, és filozófiailag különösen sokatmondók. Az én szalag-könyveim azonban inkább csak polifon szerkezetű labirintusoknak voltak nevezhetők, a szó legszorosabb értelmében vett linearitás szalagokkal modellezett eseteinek, nem pedig örvénylő kozmosszá táguló, újabb és újabb meglepetéssel szolgáló, kaotikus rendszereknek. Valami egyszerűbb, a síkot és a teret a hagyományosabb geometria szerint megmunkáló segédeszközre lett volna szükségem.

Maradt tehát, mint leghasználhatóbb lehetőség, a Lindenmayer-szisztéma, a legegyszerűbb fraktálcsalád, ami csak létezik. Végy egy egyenest (legyen ez az iniciátor), és helyettesítsd be egy ide-oda tört vonallal (ez az úgynevezett generátor), aminek te határozod meg a menetét. Aztán a kapott tört vonal minden egyes kisebb egyenes szakaszát tekintsd úgy, mintha az lenne az iniciátor, és ezeket is helyettesítsd be a szóban forgó generátor alakzatával. Ismételd meg ezt az eljárást újra és újra tetszés szerint. Meglátod majd, hogy a kiindulásként szolgáló egyenes vonal milyen váratlan alakzatokat felvevő fantasztikus görbévé fog eközben átalakulni. Az ilyen fraktál menete nemcsak mindvégig determinált marad, vagyis már a kiinduló képletekben ott rejlik az egész későbbi eredmény, hanem – az eljárás logikájának következtében – egyúttal szigorúan ciklikus is: a következő iteráció folyamán minden egyes ciklus újabb ciklusokra bomlik, ha kell, akár a végtelenségig. Bármily “sűrű” lesz is a végeredmény, “nagyító alatt” mindig meg fogod találni a kiindulásnál használt elemekből épült alakzatokat. Semmi káosz, de annál több hurokká duzzadó, gyakran önmagát is keresztező és átíró, végeredményben teljesen követhetetlenné váló fonásminta. Egy labirintus.

A baj csak az volt, hogy a Lindenmayer-féle fraktálokkal – eltekintve néhány ma már klasszikusnak számító matematikai fölfedezéstől – eddig elsősorban nem a “tiszta matematika” képviselői, s persze még kevésbé a szalagokból fonott könyvek szerkesztői, hanem főleg a botanika kutatói foglalkoztak. Ha ugyanis a generátor működési elvébe a vonal megszakításának és újrakezdésének a mozzanatát is belevesszük, akkor a generált vonal “fává” lombosodik, és a generálás logikája, illetve az így nyert és jellegzetes alakzatokká elágazó vonallánc egyúttal arra is alkalmassá válik, hogy vele az egyes növények növekedési kódját és morfológiai jellemzőit modellezzük. Ennek megfelelően a Lindenmayer nyomán favorizált terület is eddig szinte főként ágas-bogas alakzatokra, fákra és bokrokra korlátozódott. Nekem azonban “végtelen hosszúságú” füzérekre és hurkokra lett volna szükségem.

Nemrég végül mégis rászántam magam arra, hogy megpróbáljam a fraktálokból kihozni azt, ami jobban hasonlít egy bizonyos kód szerint determinált és ilyen alakzatokban előrehaladó szalag fűzésére. Most már persze nem könyv formájában foglalkozom a dologgal, hanem – legalábbis egyelőre – komputeren.

Ez az írás azonban tulajdonképpen nem ezekről a kis könynyű fajsúlyú L-szisztém fraktálokról szól. Fontosabb lehet ugyanis az, hogy amit eddig elmondtam, abban egy érdekes teszt lehetősége is benne rejlik. Egy precedens vizsgálata, mégpedig arra vonatkozólag, hogy miként bonyolódik egy művészettel foglalkozó egyén a matematika és a komputertechnika szálaiba. Miként válik maga is foglyává annak a hálónak, amit kezdetben csak azokkal a bizonyos szalag-könyveivel szőtt.

Úgy tűnik, hogy alaposabb vizsgálatot érdemel az a kérdés, hogy tulajdonképpen mi a jó abban, ha az ember a labirintusait gépre teszi, vagy ami majdnem ugyanaz, matematikailag formalizálja őket, és a továbbiakban így foglalkozik velük.

Hol a gép, a fejben vagy a világban?

A számok és a számszerű összefüggések világa kimeríthetetlen gazdagságúnak tűnik, oly gazdagnak, hogy velük a világ szinte minden jelensége modellezhető, sőt még ezen felül is egy sor dolog.

Ez utóbbi körülmény, vagyis, hogy vannak olyan matematikai összefüggések, amelyeknek a való világban, úgy látszik, nincsen reális megfelelőjük, késztetik az embert arra, hogy a számokat az emberi tapasztalatokon túli világból érkező üzeneteknek tekintse, és megpróbáljon metafizikus ismereteket vagy praktikusan is használható felfedezéseket kiolvasni belőlük. A számelmélet légies mutatványaival aztán időről időre tényleg előfordul, hogy a tiszta matematika egéből lepottyannak a földre, és kiderül róluk, hogy fizikai vagy biokémiai összefüggéseket modelleznek vagy hogy például az elemi részecskék elméletének, máskor meg az asztrofizikának a nélkülözhetetlen részei. Sok minden azonban továbbra is megmarad (legalábbis egyelőre) puszta számnak, illetve az absztrakció terében lebegő számelméleti kérdésnek.

Csak egy példát említek: a prímszámok eloszlását illetve előfordulásuk rendjét (egyáltalán van-e ilyen rend?), úgy tudom, eddig még senkinek sem sikerült algoritmikusan is kódolható táblázatba vagy valamilyen szisztematikus raszter rácsába kényszerítenie, ha eltekintünk néhány inkább kuriózumszámba menő játékos kísérlettől. Márpedig ha vannak prímszámok, akkor illene, hogy jelentsenek is valamit – gondolná az ember. De milyen jelenségre kéne odafigyelnünk? A rács mintázatára, vagy a hálóra, amit esetleg magukból a prímszámokból fonhatnánk, hogy aztán valamilyen titkot szűrhessünk ki vele a jelenségek világából?

Nem folytatom tovább. Belátható, hogy nem kell a színes szalagok könyvével foglalkoznia annak, akit a sorsa arra ítél, hogy egyszer csak elkezdje szőni azt a bizonyos hálót. A labirintus, amit ezekből a spekulációkból felépítünk, sokak szerint valóban csak a gondolkodás dimenzióiban létezik. Mások szerint persze – s nemcsak Platón vagy követői tartoznak ide – az arányok és számszerű összefüggések absztrakt birodalma valamilyen formában mégiscsak tényleges valóság. Akárhogyan is van, annyi biztosnak tűnik, hogy a történelem folyamán tulajdonképpen csak azóta merül fel a kérdés ebben a metafizikát provokáló formájában, amióta az ember tudja, hogy mi a gép. Amióta tényleg képes arra, hogy a számszerűleg is lehetségest gondolatban modellezze, vagy pedig hatékony szerkezetek formájában realizálja.

Mint annyi más vonatkozásban, valószínűleg e tekintetben is a “régi görögök” voltak az elsők. Pontosabban: nem is annyira az igazán régiek, például a Püthagorasz előtti gondolkodók, hanem inkább a klasszikus és a hellenisztikus kultúra gyermekei. Az ő kortársaik közül kerültek ki ugyanis az első igazi gépalkotók, az első konstruktőrök és mérnökök. A részletek iránt érdeklődőt azonban inkább a lexikonokhoz utalnám, és jómagam megmaradnék egyetlen olyan jelképes erejű momentumnál, melynek jelentősége az azóta eltelt két évezred folyamán is csak egyre nőtt, noha a dolog konkrét formája állandóan változott .

Arkhimédészről van szó, aki állítólag azt mondta egyszer, hogy elég, ha egyetlen fix pontot kap valahol a világban, és akkor képes kiemelni a Földet a helyéről. Feltételezhető, hogy gépekre, nevezetesen az emelő elvére és a csigarendszerek törvényére gondolt. Mellesleg szólva tudománytörténeti fejezetet is nyitott ezzel a kijelentésével, hiszen egyszerre igyekezett mítosszá növelni, utópisztikus méretekké abszolutizálni, és rögtön (gondolatban!) realizálni is azt, amiben ott rejlett a “hatékony működés” és az “egész világ” megváltoztatásának a lehetősége. Mégpedig nem a mágia vagy a misztika segítségével. Ellenkezőleg, a racionálisan elvontat, a számszerűleg is törvényszerűt akarta idővé és anyaggá kibontani, egyszóval valósággá változtatni. A hagyomány leegyszerűsítő szemlélete belőle teremtette meg azt a figurát, az “első” mérnököt, aki olyan szerkezeteket épített, amelyek egész utasítássorokat voltak képesek végrehajtani – mai szóhasználattal: aki az emberiség javára fordította az algoritmusokban rejlő erőt.

Hogy ezeknek az utasításoknak a belső működését éppen az biztosította, hogy csavarjai “egymásból következő”, vagyis az okság törvényeit tisztelő mozzanatokból épültek fel, csak manapság, a technikai racionalizmus korában tűnik olyan kézenfekvőnek, ám a mágikus praktikákkal átitatott ókori ember számára nem lehetett ilyen magától értetődő. Ha viszont éppen erre az új szemléletre egyszerűsítjük le a változást, akkor azt mondhatjuk, hogy a gép Arkhimédész értelmezésében tulajdonképpen nem volt más, mint a kauzalitás fogaskerekeinek munkába állítása. Nyilvánvaló, hogy Arkhimédész emelőjét elvben akkor is működőképesnek kellene tekintenünk, ha tervezője nem jutott volna el a szerkezet tényleges kivitelezéséig.

Ilyen értelemben véve gépnek nevezhető minden olyan gondolat vagy utánaszámolás is (és itt nem kell feltétlenül numerikus számokra gondolnunk, elég a logikai formalizálás, vagy valamilyen általános formában fogalmazott algoritmus is), amely a kauzalitás kényszerét ismeri el működőképes szerkezetnek, és megpróbál mozgásba hozni vele valamit. Az ilyen gép is hatékony, a szónak abban az értelmében, hogy munkát végez, mert átrendezi vagy átalakítja a dolgokat. És az ilyen gép esetében is fennáll annak lehetősége, hogy a szerkezet beleütközik az anyag ellenállásába.

Mint egészen abszurd határesetet, tekintsük például gépnek a föntebb már egyszer leírt mondatot: “Ha pedig léteznek prímszámok, akkor kell, hogy jelentsenek is valamit”. – Ebben a mondatban benne rejlik egy verbális kifejezéssé átalakított egyszerű algoritmus is. A kérdést azonban Arkhimédész csavarjai előtt senki sem vetette volna fel logikailag ennyire éles, mondhatnám ultimatív formában. Mert a mondat mögött azonnal érezzük a kauzalitás elvének energiáját, amelyet megpróbáltunk itt működésbe hozni. Ugyan ki várna el valamilyen értelmes eredményt az ilyenfajta gondolati erőfeszítésektől, ha nem volnánk meggyőződve róla, hogy az oksági összefüggések lánca általában véve mindig elvezet valahová, és az egész probléma, bármi legyen is az, közelebb kerül a megoldáshoz, ha ezt az elvi szükségszerűséget működésbe léptetjük? Még akkor is hiszünk az okság magasabb igazában, ha – mint éppen néhány számelméleti kérdés esetében – az alkalmazására tett kísérlet csütörtököt mond.

Megkockáztatnám azt a feltevést, hogy az eddig fölsorolt példák talán még valami másra is jók. Nevezetesen arra, hogy szemléltessék: a gépekkel kapcsolatos elvárásunk – nevezhetjük így is: a gépek hatékonyságának morális értéke – nem áll mindig arányban a munkába vett dolgok fizikai méretével vagy szellemi léptékével. Ha ma biztosítana minket valaki arról, hogy hatalmas földrészeket képes elmozdítani, még ha igazat mondana is, legfeljebb csak a rossz emlékű Davidov-terv jutna eszünkbe. A prímszámokkal kapcsolatban itt fölvetett, egészen primitív probléma azonban, vagy bármely hasonló kérdés, amelynek az a lényege, hogy esetükben nehéz megnyugtató világossággal megtalálni azt az ok-okozati fundamentumot, ami a világot különben értelmes egésszé fűzi össze, vagyis, hogy vannak dolgok, melyekről tulajdonképpen nem tudjuk, hogy mire jók, honnan jöttek és mire hatnak ki – nos, ez a kérdés már sokkal messzebbre vezet. Sőt, ezen az úton annyira közel jutunk az archaikus mítoszok irracionalitásához is, hogy úgy érezzük, a fölvetett probléma akár arra is képes lenne, hogy szétrombolja azt a gépet (a kauzalitás mechanizmusát), mellyel rendet teremtünk a világban.

Vagyis, úgy látszik, fél lábbal még mindig az Arkhimédész előtti világ talaján állunk, és lehet, hogy minden emberi kiveszne belőlünk, ha a ráció által járhatóvá tett útjainkon nem kísérne el minket az okság előtti mágikus világ öröksége, az irracionális és az abszurd. Jelenlegi nézőpontunkból ezt így foglalhatnám össze:

Mivel a gép általában véve nem más, mint a kauzalitás munkába állítása, és mivel a zavartalanul működő kauzalitás olyan látvány, ami egyúttal a mítoszok cáfolatával ér fel, minden gép, amely hatékonyan működik, a mítoszokat öli. Ámde minden gép, amely mégis csütörtököt mond, nem más, mint a mítoszok indirekt igazolása. Baleset-e az ilyen eset, vagyis ha a mitikus világból érkező jelzés egy pillanatra erősebbnek bizonyu

A kultúra több mint siker:
a kultúra a megoldásba bevont veszély

Térjünk vissza kiindulópontunkhoz, a számok világának a valóságon túllépő strukturális változatosságához. Ahhoz a feltételezéshez, hogy sok olyan számelméleti összefüggés található, melynek semmi sem felel meg a valóságban. Egy furcsa ellentmondást figyelhetünk meg ezzel az ezoterikus színezetű témával kapcsolatban:

Noha igaz, hogy a számszerű összefüggések és arányok a kauzalitás legtisztább formái, annak a ténynek az elismerésével, hogy egyes számelméleti igazságoknak (sokszor éppen a legtisztábbaknak!), úgy tűnik, szinte semmi “valóságos” tartalmuk sincs, mégis közel kerülünk annak elfogadásához, hogy a számok világa, illetve ami majdnem ugyanaz, a kauzalitás törvénye is képes arra, hogy a köznapi rációtól messzire rugaszkodó mítoszok tárgya legyen. Semmi sem mutatja jobban számoknak (és természetesen az embernek!) mitizáló hajlamát, mint a “számmisztika” vagy a “számmetafizika” fogalmának a használata, és mindaz a sok titokzatosnak tűnő dolog, amit e fogalmak mögé hallucinálunk vagy odaképzelünk.

Úgy gondolom, sokkal inkább hajlunk a matematikának e nehezen követhető, a filozófiával és a költészettel vetélkedő – néha azokat túl is szárnyaló – gazdagságának méltánylására, ha dicséretét a szakember szájából halljuk, nem pedig a félreértésekre vagy érzelmi túlzásokra is hajlamos kívülállótól. Hadd idézzem ezért Wigner Jenőt, a fizikust, aki nyilvánvalóan nem az “öncélú” matematikára gondolt, amikor így írt: “A matematikának a természettudományok terén való hasznossága a csodával határos. Nincs is rá racionális magyarázat. Mert semmiképpen sem természetes, hogy legyenek »természeti törvények«, és még kevésbé kézenfekvő, hogy az ember felfedezhesse őket. Az a tény, hogy a matematika nyelve alkalmas a fizikai törvények megfogalmazására, csodálatos ajándék, amelyet soha nem leszünk képesek igazán megérteni vagy kiérdemelni” (Communications on Pure and Applied Mathematics, 1960). Mennyivel inkább hajlunk arra, hogy “csodás ajándékról” beszéljünk, ha átlépjük a tiszta matematika birodalmának küszöbét! A számok nyelvén megfogalmazott természettörvények itt mintha a természetet maguk mögött hagyva működnének tovább, és éterből font lények módjára mozognának és alkotnának struktúrákat, amelyeknek látszólag az az egyetlen funkciójuk, hogy a semmi közegében építkezzenek, és egy olyan kristályos fényben fürdő üvegvárat hozzanak létre, amelynek végtelenbe tágulnak a dimenziói.

Lám, máris beletévedtem abba a fajta fogalmazásmódba, amely inkább irodalom, olyan méltatás, amely messzemenően pszichologizálja is a számok világát. De hogy ilyen asszociációk egyáltalán az eszünkbe juthatnak, csak azt igazolja, hogy a racionalitásnak, mi több, a mítoszokat ölő gépeknek, sőt a legszigorúbb kauzalitásnak is lehet egy olyan tartománya, amely maga is mítosszá válhat. Többnyire az tűnik fel ilyen mitikus színekben, aminek a racionális gyakorlathoz fűződő kapcsolata nem egészen egyértelmű vagy világos. Ez a hatás lehet természetesen szándékos is. Vannak például gépek, amelyek magukon viselik ugyan a kauzalitás jegyeit, mégsem érvényesítik ezt az elvet, hanem szabotálják vagy parodizálják az okság láncát, s ezzel a saját szerkezetüket is.

Ez az abszurd vagy parodisztikus távolságtartás kölcsönöz például olyan talányos fényt a dadaisták masináinak. Amelyek többnyire túlontúl egyszerű gépek – annyira egyszerűek, hogy első pillantásra is azonnal világos, mire nem jók. Nem is értelmezhetők másként, mint hogy bennük a kauzalitás mindenhatósága és a kauzalitás hiábavalósága, e két féligazság kapott modellt, melyben végre egyesült a kauzalitás előtti és utáni világ. Ez a modell-jelleg hozza közel a dadaisták gépeit a művészet tartományához.

A művészet egyik legalapvetőbb vonása ugyanis éppen az, hogy anyagát mindig modellként, hasonlatként vagy parabolaként kezeli: benne a rész az egészre utal, a forma csak metafora, amely provokatív erővel fordítja figyelmünket a formába nem fogható teljességre. (Ennek éppen ellenkezője a tudomány, amely mindig megmarad a részletek igazságánál, és soha nem tekintheti anyagát vagy munkaeszközeit olyan metaforának, amely – valamilyen metafizikus transzformáció révén – az egészet helyettesíthetné.)

A művészet által létrehozott pszeudogépek roppant egyszerűnek tűnő, látszólag minden komplexitást nélkülöző szerénységével szemben ott a komplexitásoknak azon egyoldalú formája, amely napról napra megújul, és kimeríthetetlen utánpótlásokból merít erőt: a csak technikai jellegű perfekció.

Napjainkban éppen az effajta perfekciót szokás összetéveszteni a művészet teljesen más irányú komplexitásával. Az egyik leggyakoribb szó például, amit a grafikai szakfolyóiratokban manapság olvashatunk, a számszerű adatokat vizuális képpé transzformáló programok használata, a szimuláció. És egyre többször találkozunk azzal a minősítéssel is, hogy ezek a munkák – rendkívül rafinált szoftverhátterük és lélegzetelállítóan illúzionisztikus hatásuk révén – művészi alkotások. A bűvöletes hatás azonban rendszerint rövid életű, és csak addig tart, amíg az ilyen programok következő generációja piacra nem kerül. Az esztétikus élményt is nyújtó szuggesztió gyorsan elkopik, hiszen amit az ilyen eljárások “művészileg” nyújtanak, az többnyire még a design-esztétika mércéjével mérve sem több, mint a technikai polírozottság fénye. S e fény mögül természetesen hiányzik az egzisztenciális kérdések árnyéka, az emberi lét szempontjából is értelmezhető ontológiai mélység.

Az emberi szempontból fontos kérdések ugyanis rendszerint logikailag csorbák, algoritmikus szempontból hibásak, és a kauzalitás eszközeivel nem írhatók le maradéktalanul. (Arisztotelész terminológiájával élve: természetük tragikus, ami természetesen távolról sem azonos azzal, hogy melodramatikus vagy “szomorú”). A gépek viszont, melyeknek az egyetlen feladata a megoldás keresése, minél jobbak, minél tökéletesebbek, fényükkel annál jobban átmossák, perfekciójukkal annál inkább túlragyogják ezeket a sötét krátereket. Bármilyen nagy hatásfokkal dolgoznak is, bonyolultságuk távol marad attól a kulturálisan is értelmezhető komplexitástól, melynek alapvető tulajdonsága éppen a megoldatlan helyzetek ismerete és az azokra való árnyalt reflexió.

A kultúra igen gyakran a veszély elfogadásával, mit több, a katasztrófákkal való együttélés szükségességével, illetve az erre a helyzetre adott adekvát válasszal lép színre, és a művészet is a kikerülhetetlen vajákos elhárításával, és a veszélyek vagy bajok ritualizálásával kezdődik. (És ennek ellenére, vagy talán még inkább: ezáltal szép.) Isten óvjon minket persze attól, hogy egyszer a tudomány is valami hasonlóra vállalkozzék.

Szükséges még mindig ilyen polemikus éllel hangsúlyozni a művészet és a tudomány közti különbséget? A kérdés annyira agyontárgyalt, hogy szinte nevetséges, ha e téren valakit még fel akarnánk világosítani. Ezért talán az lenne a legjobb, ha egy példával illusztrálnám, hogy mire is gondolok. Nemrég kezembe került Joseph Deken 1983-ban megjelent képes antológiája, a Computer Images, amely a tudomány, a kommunikáció, a virtuális valóság (pár évvel ezelőtt még mekkora sláger!), és a komputeres szimuláció köréből gyűjtötte össze a legsikerültebb komputerképeket – és természetesen nem hiányozhatott az a fejezet sem, amely a művészi fantázia termékeiből válogatta össze a példáit.

Egy évtized alatt ugyancsak kifakult ez a kötet, és csak annyi maradt meg a képek igézetes erejéből, amennyivel minden közepes reklámfotó is rendelkezik. Kivételt képez néhány tudományos céllal készült munka, amelyek ma is igen érdekesnek hatnak (Alan Norton háromdimenziós fraktálokról generált alakzatai például olyan formákat mutatnak be, amelyeknek még a létét sem tudnánk elképzelni a komputer segítsége nélkül). Viszont éppen a “művészi fantázia” esetei, ahogy e kötet bemutatja, még silány filmdíszleteknek is gyengék. Az egyetlen igazán megragadó ötletre a “komputerek képet szőnek” című, s tulajdonképpen a nyomtatott áramkörök előállításával foglalkozó fejezetben bukkantam rá. Ez egy dominóból (mint sötétebb-világosabb raszterből) összerakott Chaplin-arckép volt, amely úgy készült, hogy Ken Knowlton, a kép alkotója, négy szettre való dominót táplált a gép memóriájába, s aztán olyan programot dolgozott ki, amely a beolvasott fekete-fehér fotókat nem a megszokott raszterrel jelenítette meg, hanem úgy rajzolta ki a képernyőn, hogy “kirakott” egy, a kép tónusait követő dominó-játékot.

Ez a kép egyrészt eleget tett annak az elvárásnak, hogy a munka csak komputerrel legyen kivitelezhető, s így valami lényegeset árult el a komputerről is. Másrészt azonban olyan irracionális elemeket is tartalmazott, amilyenek csak a játék és a művészi kreativitás aktusaiban fordulhatnak elő. A technikai trükk metaforává változott át, amely, bár intuitív úton azonnal fölfogható, mégis annyira komplex, hogy csak nehezen tudnánk megmagyarázni, tulajdonképpen mit is jelent, vagy mi benne a jó. A gép egy bizonyos képessége itt az emberi világ definiálhatatlan kozmoszával lett szembesítve, és az eredmény is ennek megfelelően csonka, csak utalás-, vagy szimbólumszerű, de éppen e töredékessége és nyitottsága révén általánosítható. Az ilyen komputerkép nem öregszik.

Nehéz képletbe foglalni, hogy a dominó-Chaplin esetében mi is történt, talán egy gép=játék= ember=világ formula volt az, ami testet öltött itt? Mindenesetre sikerült vele egy pillanatra a gép mítoszát is megragadni. Mennyivel más ez, mint az az úton-útfélen tapasztalt gép=siker=művészet szemlélet, amely szintén mítoszalkotásra törekszik, de csak a naturalista utópiákig jut el.

Az ilyen utópiák szerint az előttünk álló feladatok megoldása, mi több, az egész élet és az egész történelem sikere végső soron csak egy jól megválasztott szisztéma kérdése. Ebből a szempontból még az úgynevezett “szebb jövő” rajza is ott van Arkhimédész tervezőasztalán, csak el kell onnan lopni. Mert nem más, mint egy sikerülten programozott gép.

Új gép:
a káoszt kormányzó matematikai perfekció

Az olvasó joggal feszenghet: hát nem azzal kezdte beszámolóját a szerzőnk is, hogy a művészkönyvek fonásától áttért a komputerrel végzett modellezésre? Mert azt hitte, hogy az majd jobban sikerül?

Jó, megbocsátjuk neki, hogy “gépre tette a labirintusait”, ha már a kockás papíron való utánaszámolás tényleg olyan nehézkes. De amit így számolgat, ha jól értettük, az maga is algoritmusokból felépülő szisztéma, hisz ezek a könyvek és fonásminták matematikai természetű konstrukciók. Ámde nem ő maga mutatta ki az imént az ilyen konstrukciókról, hogy lényegük a gépies szemlélet? Vagy azzal a szaltó mortáléval akarja majd magát kivágni előttünk, hogy bár elismeri: fonásmintái nem többek, mint az okság láncával való játékok, ámde rögtön fellebbez ahhoz a szintén saját leleményként bevezetett al-tételéhez, mely szerint bizonyos, “öncélú” esetekben a ráció vagy a matematika is lehet irracionális, és a funkció nélküli gép tulajdonképpen mítosz. Miáltal az egész hobbinak, amit űz, mégiscsak köze van a kultúra költőibb tartományaihoz és a művészethez?

A szerző szemtelensége határtalan, és kezeit széttárva azt feleli az olvasónak: – Lehetséges. – A “művészi” szó használatában azonban mértéktartóbb, és úgy véli, hogy különbséget kell tennie utópia és művészet között. Talán nem más az egész labirintusépítés, mint a létkérdések egyszerűbb modellezése vagy egy új utópia keresése. Ami persze még nem feltétlenül művészet. De ami igazán érdekessé teszi a helyzetet, az az, hogy mindez a sok utópisztikus ízű erőfeszítés tulajdonképpen az utópiákról való lemondás jegyében történik. Mintha annak az elképzelésnek (utópiának?) lennénk a rabjai, hogy lehetséges utópisztikus remények nélkül is emberi egzisztenciát fönntartani.

Az ellentmondásos helyzetet abban foglalhatnánk össze, hogy úgy tűnik, a kauzalitás tekintélyének meggyengülésével és a racionális utópiák elsüllyedésével – e két rendezőelv a politikai életben és a tudományos világképben szinte ugyanabban a pillanatban bukott meg, s lehet, hogy ez az egybeesés a huszadik század legfigyelemreméltóbb eseménye! –, egyszóval e tekintélyek eltűnésével párhuzamosan egyre népszerűbbé válik a káosz utópisztikus tisztelete is, mintha a rend bukásával most már nem maradt volna más reményforrás számunkra, mint a mélységesen zavaros, illetve a végtelenségig rejtélyes és bonyolult.

A determinált káosz azonban, úgy is, mint ennek az új periódusnak a tudományos bázisa és legszabatosabb kifejezése, igazi természetét tekintve nem az a fajta matematikai modell, mely valamennyire is igazolná a káoszt, úgy, ahogy azt a köznapi életben értjük. Sokkal inkább nevezhető heurisztikus tartalmú határesetnek. Megfosztja ugyan az embert attól a lehetőségtől, hogy továbbra is szisztémákat dolgozzon ki a komplex rendszerek jövőjére vonatkozólag (és mivel az élet is egy ilyen komplex rendszer, természetesen megfoszt minket az utópiáktól és az ideológiáktól, illetve elveszi tőlünk a szebb jövőre vonatkozó recepteket), mégis megőrzi számunkra azt a lehetőséget, hogy legalább utólag utánaszámolhassunk annak, ami tulajdonképpen kiszámíthatatlan. Az utánaszámolás azért lehetséges, mert a káosz minden szakasza determinált, jól modellezhető és racionális módon megismételhető, s legfeljebb az egész az, ami oly messzire kerül mindenkori kezdeteitől, hogy ellenáll a jövőjét megjósoló kísérleteknek. Az egész utánajárás pedig elképzelhetetlen anélkül, hogy ne géppel (a komputerrel) számítsuk ki azt, ami abban valóban gépi természetű.

Ebben a helyzetben az ember (így a szerző is) ösztönösen rááll arra az új paradigmára, mely ott lóg a levegőben, és maga is elkezd labirintusokat, útvesztőket szőni, vonzalmat érez a beláthatatlanul nagy számok világa iránt és a végtelenségig ismételhető, manuálisan már nem kivitelezhető és ellenőrizhető műveletek iránt. Hogy miért? Nyilván mert kíváncsi arra, hogy milyen érzés belépni ebbe a világba, s noha tudja, hogy nem kap rá választ, mégis megkísérli modellezni, hogy mire vezet az egész. Ez a láz, így, az első percekben még nem is tudomány hanem barkácsolás, és színes, csodálatos mese, távol minden perfekciótól.

A szerző persze hiába erőlködik, mégsem tudja egészen tisztára mosni magát az olvasó előtt. Ezért aztán mentségeket keres, és diadalmasan halássza ki a könyvek tömegéből a másokat terhelő bűnjeleket is. Mindjárt siet például azt megállapítani, hogy az egész tudományos elit behódolt a káoszkutatás divatjának, hiszen az utolsó másfél évtizedben szinte minden tudományág megtalálta a módját, hogy megfonja a maga labirintusát. De ha az erre vonatkozó eredményeket ismertető könyvek közt kutatunk, előbb-utóbb mégiscsak be kell látnunk, hogy a tudományos elit mögött ott sejlik a matematika egész múltja, és ebből a múltból különös jelentősséggel bír az utolsó száz esztendő krónikája.

Ami a divat felszíne alatt szolid eredmény:
a növekedés geometriája

Cantor neve feltehetőleg a halmazelmélet megteremtésével kapcsolatban ismerős az olvasónak. Volt azonban Cantor tarsolyában más is. A “Cantor-féle por” volt az az első, geometrikusan is ábrázolható, illetve – meghökkentő módon – az ábrázolás lehetőségeit mégiscsak maga mögött hagyó matematikai struktúra, amely a mai kutatások középpontjában álló komplexitások egyik legfontosabb előhírnökének számíthat.

Mindenekelőtt tisztázzuk: a Cantor-féle por is egy halmaz, amit úgy kapunk, ha egy egyenest három részre osztunk, kiemeljük a középső szakaszát, majd a megmaradt két szélső darabbal újra megismételjük ezt a műveletet, mintha azok lennének a kiindulásként szolgáló eredeti egyenesünk kópiái, – s így folytatjuk ezt a harmadolást és a középső szakaszok kiemelését egészen a végtelenségig. Ami az eljárás végén fennmarad, az a pontok egy bizonyos, jól definiálható eloszlása, egy anyagtalan, de determinált elrendezésű por(halmaz) alakjában.

A figyelmes olvasónak nyilván feltűnik, hogy ez az eljárás sokban hasonlít az írásom bevezető részében ismertetett Lindenmayer-féle fraktálok generálásához. Csakhogy míg Lindenmayer módszere a növekedés modellezése volt – a kiindulásként szolgáló egyenes a vele ismételten behelyettesített generátor révén egyre nőtt, egyre “dagadt”, jó esetben síkká terült szét – addig ez az ősi, száz évvel ezelőtti fraktál egyre csökken, míg csak az anyagául szolgáló egyenes tökéletesen dimenzió nélkülivé nem válik és el nem fogy.

Ez a semmivé foszlás azonban csak látszólagos. Valójában az a helyzet a Cantor-féle porral, hogy míg gondolatban előállítjuk, egyre növekszik a halmazt alkotó objektumok száma. És nemcsak az áll elő a végén, hogy a porszemek száma végtelen, hanem azt is könnyű belátni, hogy a Cantor-féle por bármelyik kisebb szakasza pontosan ugyanolyan alakú, mint az egész halmaz, mi több, ugyanakkora marad elemeinek számát tekintve is.

Száz esztendővel ezelőtt, Cantor korában – és még sokáig azután is – abszurdumnak tűnt ez, bár megcáfolni senki sem tudta. Ma már azonban a matematika nagy része dolgozik ilyen halmazokkal. Egész egyszerűen az a helyzet, hogy a végtelen teljesen hétköznapi munkaeszközünkké vált. És ami talán még érdekesebb: ez a végtelen nem készen kapott, statikus természetű mennyiség (soha nem azzal kezdődik egy ilyen feladat, hogy “végy egy szekérre való végtelent”), hanem rendszerint egészen hétköznapi és jól definiálható matematikai kifejezésekből generálódik úgy, hogy elvégezzük a kijelölt műveleteket. Tehát munka közben “magától lesz”, születik.

Ez azt jelenti, hogy ami napjainkban végtelenül naggyá válik, az elsősorban nem is a számok tartománya (az is, de hát mi a jelentősége? – hisz nincs egyszerűbb, mint kimondani egy nagy számot). Sokkal helyesebb arról beszélni, hogy a matematikai operációkban rejlik az a dinamika, ami az ilyen végtelen dimenziók felé hajtja előre a számításokat. És ebben a tekintetben a végtelenül kicsiny és a végtelenül nagy pályájuk, illetve funkcióik bizonyos pontjain alig különböznek egymástól, “összeérnek”. Ezt figyelhetjük meg már a Cantor-féle por esetében is, amely azáltal válik végtelenül nagy halmazzá, hogy elemei végtelenül kicsinnyé zsugorodnak össze.

De így van ez a fraktálok többi családjában is. Csak a végtelenségig folytatott iterációval válnak azzá, ami az igazi természetük. Így igaz ez, még akkor is, ha a gyakorlatban – hiszen nem győzzük technikai  eszközökkel – már sokkal korábban fölhagyunk a végtelenbe futó iterációk követésével.

A matematikának és a természettudományoknak ez az utóbbi húsz esztendőben meggyorsult változása nemcsak technikai jellegű, hanem egyelőre még alig felbecsülhető szemléleti változásokat is jelent. Ugyanis nincsenek többé statikus tartományok, minden mozgásban van, s e mozgást nem a klasszikus kinetika értelmében kell elképzelnünk (sőt, nem is a relativitáselmélet definíciói vagy a kvantumfizika néha oly paradox törvényei szerint), hanem szokatlan formában. Tudniillik a mozgások és az események egymásból születnek, mégpedig úgy, hogy kezdetben csak kódjelek formájában vannak jelen, de ami e kódokban benne rejlik, az a kibomlás, az önmegvalósulás aktusa során kiszámíthatatlanul gazdaggá és komplexszé válik, hiszen potenciálisan végtelen.

És ez a mozgásforma a mi léptékrendszerünk jellegzetessége, a makrovilág talán legáltalánosabb törvénye. Az elmúlt másfél-két évtized egyik legnagyobb tudományos sokkja volt például, hogy miután Mandelbrot és mások kutatásai napfényre hozták ezeknek a dinamikusan növekvő rendszereknek a matematikai természetét, egy fiatal amerikai kutató, Barnsley, azt is bebizonyította, hogy ez a jelenség nemcsak a komplex számok síkján vagy a komputerek képernyőjén rajzolódik ki, hanem ennek a matematikai alapvetésnek a segítségével olyan mindennapi dolgok, is könnyen kódolhatók és előállíthatók, mint például egy páfránylevél. És a páfrány csak egy a milliónyi hasonló eset közül. Hogy a természet szinte minden mozzanatában így “iteráljon”, az először majdnem hihetetlennek tűnt.

Azóta azonban már ott tartunk, hogy a közönséges natúr fényképfelvételeken vagy a szatellit-fotókon is megtalálhatjuk a formák azon csoportjait, melyeket egy-egy fraktálkód adataira vezethetünk vissza. Elég tehát, ha a képek raszterpontjainak az összességéből “visszakövetkeztetünk” néhány fraktális struktúrára s az őket leíró kódok alig néhány tucatnyi számadataira. Utána már a natúr képeket is ezekkel az adatokkal helyettesítjük be – a kép komprimálása, néhány adattá sűrítése így akár több százezerszeres léptékű is lehet.

Az élőlények morfológiáján vagy az élettelen természet alakzatain túl azonban igen sok egyéb folyamatra, gazdasági és szociológiai mozgásformára vagy eseménysorra is érvényes a most leírt dinamikus struktúra. A jelenségek számottevően nagy része, talán döntő többsége a növekedés eme komplex formája során nyeri el azt a képét, ahogyan nap mint nap megjelenik előttünk. A világ – úgy látszik – egy korallsziget, amelynek eddig csak a tengerből kiemelkedő kisebbik részét vettük észre. Nagyobbik fele, vagyis az, amelyik a víz szintje alatt maradt, és láthatatlanul dolgozik azon, hogy a növekedés e sokszálú munkáját végezze, igazi természetét illetően csak most kezd érthetővé válni.

Egy korszak emblémája: a kör helyett spirál

Ez a dolgozat azonban nem tudományos publikáció, és nem törekedhet még arra sem, hogy “tudományos ismeretterjesztő” ambíciókkal forduljon a kurrens természettudományos eredmények felé. Egyszerűen csak a művészettörténész számadása saját elképzeléseiről és játékairól, illetve azokról a magyarázatokról, melyeket a játékaihoz fűz, például egy olyan mindenkit érintő téma, mint a “gép”, illetve a komputer kapcsán. Egyúttal azonban érzem azt is, hogy mily nehéz mindazok után, amiről itt érintőlegesen szóltam, s ami mögött különben a tudományos élet nehézfegyvereit sejtjük, visszalépnem a dolgozat elején elkezdett – csaknem önéletrajzi jellegű – beszámolóhoz, milyen nehéz most a reflektorok fénye után felmutatnom a magam kis gyertyáját.

Van az egész szalagkönyv-történetben, vagy a belőle kifejlődött fraktálgeometriai “privát”-játékokban olyasmi, amit még érdemes lenne megemlíteni? Míg a szalagok polifóniáját fűztem, másodlagos volt, hogy miként fog kinézni a munka végén előálló fonásminta, fontossá vált azonban a választott struktúra szemmel tartása és bizonyos “játékszabályok” betartása.

A fraktálgenerálás komputeren kivitelezett esetei gyakran hasonlítanak ehhez a “fűzéshez”, szinte még a ceruza hegyét is nyomon követhetjük, ahogy a képernyőn a választott algoritmusnak engedelmeskedve ide-oda kanyarog. És itt is csak másodlagos fontosságú a végeredmény, azaz hogy milyen alakzatok válnak a mozgó ceruza nyomán láthatóvá. Fontosabb az út, mert a pontról pontra haladó mozgás mikéntjében ott rejlenek a forma megszületését is eláruló információk. A fraktálgeometria ebből a szempontból tényleg csak annyiban különbözik a hagyományos síkgeometria eseteitől, hogy – leegyszerűsítve a kérdést – egy fraktális kód, ahogy halad, mindig egy spirálist rajzol, azaz olyan örvényformát, amely a végtelenségig kanyarog és soha nem talál vissza önmagához. A hagyományos geometria ezzel szemben visszavezethető a körre: egy bizonyos szakasz megtétele után a mozgás a kiindulópontjához jut vissza, és ha akar, itt meg is áll. A görbék igazi tulajdonsága azonban inkább az, hogy tovább haladnak előre, mindörökké – a kör is ilyen “végtelen”, legfeljebb határeset: egy olyan spirál, amely 360° után a saját farkába harapott.

Hogy ennek a szemléletnek a következetes végigvitelével hová jutnánk, annak illusztrálására egyetlen szempontot említenék itt meg: annak a kérdésnek például, hogy hány oldala van a négyzetnek, e rendszeren belül, legalábbis primer fokon, nincsen értelme (mert nem biztos hogy a mozgás az egyenes szakasz négyszeri transzformációja után tényleg lezárul. A ceruza – a körhöz hasonlóan – itt is újra és újra átírhatja, ismételheti a formát. Ilyenkor a négyzetnek akár száz oldala is lehet, legfeljebb négy az, ami ebből a százból tényleg látható). A négyzet képlete ezek szerint egy olyan kód, amely csak a négyzet oldalát jelentő egyenes szakaszt és annak a kilencven fokos fordulattal történő megismétlését definiálja:

F / 90° F,

és a továbbiakban ránk bízza ennek a generátornak a használatát.

Ez így természetesen nem más, mint a Lindenmayer-fraktálok kódolási módja. A fraktálgeometria oldaláról tekintve tényleg csak annyi a különbség, hogy –a négyzetnél maradva – egy olyan érdekes esettel van dolgunk, ahol a négy jellegzetes oldal (melyek a generálás pillanatában még “ismeretlenek” és ezért érdektelenek voltak) most, az eredményt is látva a négyzet attraktorának tűnik (az attraktor egy általánosabban használt fogalom, s azt a formát jelenti, amely a megszülető görbét magához húzza, s “fogva tartja”). Semmi sem tiltja ugyanis, hogy egy geometriai objektum generálása során éppen egy elemi euklideszi forma játssza az attraktor szerepét.

A fraktálok klasszikus definíciója persze kimondja, hogy az attraktor egy ennél sokkal komplexebb forma, maga a fraktál pedig tört dimenziójú geometriai objektum kell hogy legyen. Ezen a szigoron azonban már maga Mandelbrot is sokat enyhített az utolsó években, részben azért, mert a felnyitott zsilipek nyomán egyre szélesebb áradatban ömlik be szakterületére az, ami már nem klasszikus értelemben vett fraktál, hanem egyszerűen csak valóság. Különben is az, amiről itt szó van, egyáltalán nem a fraktálok geometriája, hanem a fraktálgeometria egyik elemének általánosítása egy tágabban értelmezett dinamikus geometria javára. Hogy egy ilyen geometria megalkotása lehetséges sőt szükséges is, azt sok minden valószínűsíti – mindenekelőtt a növekedés mozzanatának és pontosabb nyomon követésének fontossága.

Elismerem persze, hogy kissé meredek dolog éppen a négyzetre alkalmazni a fraktálgenerálás szemléletét vagy gyakorlatát. De ez csak didaktikus okokból történt most így. Azonnal természetesebbnek tűnik az eljárás, ha komplikáltabb formákat, például bonyolult struktúrájú rácsokat, csillagokat vagy sokszorosan összetett egyéb alakzatokat és láncokat akarunk létrehozni. És nyilvánvalóan ez az egyetlen út ahhoz is, hogy élővé tegyük a matematika által is kutatott parketta-minták jégvirágokká fagyott világát, vagy hogy a sík-mozaik formák mögül előhívjuk megszületésük és növekedésük igazi természetrajzát.

Az én esetemben a szalagok polifóniájával való játékkal kezdődött e növekedés megsejtése. Természetesen nem akarom összetéveszteni e sejtéseimet a nálamnál felkészültebbek igazi tudásával. Csak a jól ismert zsinór-játékot, a “levevőst” tartom most oda az olvasó elé, úgy, ahogy ezek a hurokba vetett szalagok a két tenyerem közt feszülnek. “Vegye le” és fordítsa át, módosítsa a rajzolatát úgy, ahogy ő jónak találja. (Café Bábel. Nyolcadik szám: Gép. 1993/2. 15–25. oldal)

Miért generálok fraktálgrafikákat?

A Neumann János-i fordulat
és a vizualitás új formái

Noha igaz, hogy semmit sem ununk jobban a 20. század végén, mint az úgynevezett újdonságokat, mégis sokaknak lehet az a benyomása, hogy kínosan kevés valóban új dolog van manapság a világon. A káoszdinamikát, illetve az egyik fejezetét alkotó fraktálgeometriát kétségtelenül ezen kevés igazán új jelenség közé sorolhatjuk. Természetesen az ezzel a matematikai anyaggal kapcsolatos felfedezések sem abból a szempontból újak, hogy ne lettek volna előzményeik. Csupán annyiban jelentenek új helyzetet számunkra, hogy azok a kérdések és felismerések, melyek a káoszdinamika vagy a fraktálok világa mögött rejlenek, mind a természettudományok bizonyos területein, mind pedig a szellemtudományok jelentős kulcskérdéseinek a szempontjából a nyolcvanas évek küszöbe óta egy sor robbanásszerű paradigmaváltáshoz vezettek. Nehéz is lenne pillanatnyilag valamilyen más, a természettudományok mélységeit is bejáró, általános érvényű és új paradigmát találni.

Ez eddig talán világos. A következőkben viszont arra szeretném felhívni a figyelmet, hogy nagy különbség van a között, hogy mit tartunk számon úgy, mint új paradigmát, vagyis mint valami új meggyőződést megfogalmazó szemléletváltozást, és a között, hogy milyen változások történnek az ilyen felismeréstől függetlenül a minket körülvevő világban. Sok minden ugyanis meggyőződésünk és jól bejáratott szemléletmódunk ellenére történik.

*

Először is néhány szót korunk sokszor emlegetett paradigmáiról.

A “posztmodern” jelző bevezetésével és gyors térhódításával igen hamar közkinccsé vált az a felismerés is, hogy a posztmodernnek nevezett korszaknak talán az a legfontosabb paradigmája, hogy nincsenek többé általános érvényű paradigmák. Ez így, könnyedén kimondva, természetesen csak szellemeskedő fordulatként hangzik, igaz belőle viszont az, hogy a kijelentés egy sajátos, szinte groteszk helyzetet jellemez, amely, meg kell adni, elég váratlanul ért minket a 20. század utolsó harmadában.

Előfordult már hasonló tanácstalanság többször is a történelem folyamán, és az ilyen periódusokat szokták aztán megfelelő idő eltelte után kissé sajnálkozó hangsúllyal túlérett vagy dekadens korszakoknak nevezni, illetve a reflexiók fáradt korának tartani. A 20. század végének helyzete azonban oly értelemben különbözik a korábbi ilyen korszakoktól, vagy a történelem ismert reflektív periódusaitól, hogy egyáltalán nem jellemző rá az úgynevezett passzív szemlélődés, illetve stagnálás. Amit 1980 óta megéltünk, és amit a következő tíz-tizenöt év homályában sejtünk, azt nem nevezhetjük sem eseménytelen ácsorgásnak, sem pedig alkonyba forduló elsötétülésnek. Inkább hasonlítható olyasmihez, amit a moziban látni, ha kiugrik a film a vetítőgép orsói közül és megfutnak a képek – csak úgy villódzik ilyenkor a vászon. A felismerhetetlen koreográfia szerint ágáló alakok, vagy a sebesség miatt elmosódó formák alig hagynak időt a gondolkodásra.

Igaz ugyan, hogy miközben a fejünket kapkodjuk, állandóan panaszkodunk a szellemi és a kulturális szféra elszegényedése miatt, ám az is tagadhatatlan, hogy eközben mintegy ötévenként teljesen kicserélődik a horizontunk. Noha elsősorban a politikai és a gazdasági szféra dolgai azok, melyeket nap mint nap tudomásul veszünk, mégsem csupán politikai szerepvállalásunk vagy pénztárcánk reflexeivel válaszolunk a horizont változásaira, hanem a tágabb értelemben vett kultúránkkal is. Ez pedig még a szellemi fordulatokban oly eseménydús korábbi évtizedekhez mérten is igencsak felgyorsult tempót jelent, ha pedig a világtörténelem eseménynaptárának ritmusához mérjük élményeinket, akkor egyszerűen páratlan besűrűsödést kell konstatálnunk, és azt kell mondanunk, hogy amire rákényszerülünk, az tulajdonképpen a szellemi reakciók és a kulturális adaptációk egyfajta hipertóniája. Korunk nem stagnál, hanem éppen ellenkezőleg: túlpörög.

Hadd idézzek fel az események jellegének árnyalására egy olyan egészen primitív, naptári dimenziókban maradó tényt, ami ugyan a minket körülvevő makro-méretű valóság fontos váltásaihoz tartozik, mégis csak nagyon ritkán vagy egyáltalán nem szoktunk belegondolni, s noha ez a tény már magában véve is azt igazolja, hogy a történelem alapjaiban forgatja fel helyzetünket, és nem törődik azzal, hogy mi ezt megfelelő elméletekkel támasztjuk alá vagy sem. A 20. század első felében (tehát Edisontól mondjuk a második világháború befejezéséig) ugyanannyi ember élt a földön, mint amennyi a világtörténelem addigi összes korszakaiban együttvéve. És talán utána lehetne számolni annak is, hogy ugyanez a képlet ismétlődik meg most a század második felében is hatványozottabb formában. Vagyis az utolsó négy-öt évtizedben is megint annyi ember lett kortársa egymásnak, mint amennyi korábban élt a földön visszamenőleg pár ezer év alatt. A szociológia síkján, a mcLuhani fogalmazásmódot követve ezt a tolongást szokták szemléletes képpel “planetáris falu”-nak nevezni.

Én azonban inkább a szokatlan helyzet egy másik aspektusát hangsúlyoznám, mégpedig azt, hogy a történelem új dimenziókba költözött át. Eddig csak lineárisan, az idő fonalát követve váltakoztak az évszázadok. Most viszont ugyanezek az évszázados léptékű változások nem az időben, hanem a minket formáló erők terében váltják egymást. Egy darabban és tagolatlanul, teljesen a történelem megszokott ritmusa nélkül, úgyszólván szinkronban éljük meg világképünk gyors ritmusú átalakulását, és ugyanígy: nem időben, hanem térben szétterülő szőnyeg képét nyújtja az is, ahogy ide-oda lépkedünk a magunkban hordozott kozmosz paradigmaváltásainak mély krátereket és fájdalmas hiányokat mutató mintázatán.

Nem tagadható persze, hogy eközben minden egyes ember a maga szerény lehetőségei szerint mégiscsak megéli ennek a változásnak a teljes időskáláját is – az előző képnél maradva: mindenki megszövi a maga szőnyegét, összeállít valamilyen magyarázatrendszert, és ha nem a nappal józan világossága mellett teszi ezt, hát szövi a szőttest öntudatlanul, az életösztönétől vezérelve az éjszakák homályában. De csak futólag fordulhat elő, hogy az emberek képesek legyenek arra is, hogy a szőnyeg mintáit egy-egy fantasztikus álom erejéig a környezetükben is lássák, vagy hogy másokon is megfigyelhessék a maguk mentális felpörgését, és benyomásaikat valamilyen formában analizálják. Még mielőtt kultúra születne a futó látomásból, újra széthullik a kép. Naponta más-más ritmusban és más-más belső meggyőződéssel lépnek ki az emberek az utcára, vagy néznek át az úttesten egymás ablakába.

*

Valóban igaz lenne hát, hogy elvesztettük a lábunk alól a talajt, és az emberi civilizáció olyan korszakába léptünk, amelyben le kellene mondanunk a minket kísérő szolidabb kultúrák és áfogóbb érvényű paradigmák segítségéről?

Nos, nem hiszek az ilyen apokaliptikus képekben. Legfeljebb azzal a lehetőséggel számolok, hogy ha az eddigi kultúrák kontinuitását egy nagy falióra egyenletes óraütéseihez hasonlítjuk, akkor igenis elképzelhetőnek tartom, hogy a továbbiakban már nem lesz olyan kizárólagos szerepe ennek az órának. A falióra ingája helyett egy léptékét és dimenzióit tekintve teljesen más természetű szerkezet ketyeg a környezetünkben: a komputerek processzora. Megjelenésével az idő dimenziója is átadta helyét a frekvencia nagyságának. A “frekvencia” szó használatával pedig valami olyasmit írtam most körül, amit nem az idő kategóriájába, hanem inkább a teljesítmény tartományaiba szoktunk sorolni. Vagyis nem az történik velünk, amit az idő diktál, hanem az, amit a teljesítmények felmérésére alkalmas mutató számlál.

Kérem, ne ránduljanak össze idegesen, ha ezt hallják, és ne higgyék, hogy azért hoztam szóba a processzorok frekvenciáját, mert morálisan összeomlottam, és íme, éppen e percben jutottam el oda, hogy kapituláljak az informatikai ipar marketing-hadjáratai előtt. Nem így van. Szeretnék emlékeztetni például arra, hogy a komputertechnológiához sem csupán a Microsoft termékeit asszociáljuk, hanem például Neumann János nevét is. Mint ismeretes, ő dolgozta ki a mai komputerek elvi alapjait, és annak idején, a negyvenes és az ötvenes években, nagyon meg volt győződve arról, hogy a komputer jobban meg fogja változtatni a 20. század képét, mint az atombomba tette. Nehéz volt akkor, a világháború befejezését követő a rövid pihenő után és a hidegháború kellős közepén elképzelni, hogy mit jelent majd ez a jóslat a mindennapok nyelvére lefordítva. Ma már sokkal jobban látjuk, hogy mik voltak a komputer megalkotásának és kiterjedt használatának a következményei. De még ma sem fogalmazódott meg világosan az a paradigmák fölött álló “mega-paradigma”-váltás, amit Neumann János a 20. századi civilizáció második felébe annak idején belevetített vagy belelátott.

Ami az utolsó két évtizedre jellemző, az elsősorban egy sor új vonatkozású kutatási terület kijelölése volt, ahol azóta is lázas munka folyik. Ami pedig a szellemtudományokat illeti, e téren egy nagy, politikai és filozófiai természetű rezignáció csendesítette le a kedélyeket, és ez legalább annyira jelentett szomorkás ízű kiábrándulást (például bizonyos ideológiai és futurológiai diszciplínákból), mint amennyire megkönnyebbüléssel tölthetett el egy sor olyan embert (és ilyen emberek minden korban előfordultak már...), akik jól sejtették, hogy bajok vannak az úgynevezett jövőkutatással – vagy pontosabban fogalmazva: az utópiákkal.

*

Hadd foglaljam egészen röviden össze, mire is gondolok. A dolognak van egy matematikai és egy, a kauzalitás kérdéseivel kapcsolatos oldala.

A matematikai részt a káoszdinamikával foglalkozó tankönyvek írják le, például az ún. Verhulst-egyenlet (vagy általánosítottabb fogalmazásban, a logisztikus képlet) formájában. Ennek a formulának az elemzése során juthatunk el ugyanis az ún. bifurkációs görbe lerajzolásához. Hogy miként kapjuk meg, és aztán milyen tulajdonságokkal rendelkezik ez a görbe, azt itt nem részletezem, ehhez elemi fokon segítséget nyújthat az e kötet végén álló “Néhány szó a fraktálokról” is. A bifurkációs görbe általánosabb szintű értelmezését viszont hadd ismételjem meg néhány mondatban.

Mivel a komplex folyamatok sajátossága, hogy a szerveződés magasabb fokán (vagy ahogy azt többnyire észleljük: az idő előrehaladtával) nem egy, hanem két, majd négy, aztán hatványozottan növekedve egyre több egyenlő rangú eredmény között oszcillál, és végül ez a rezgés egy, a lehetséges eredmények síkját teljesen kitöltő filctömeggé terül szét, lehetetlen akár csak megközelítő pontossággal is valamilyen prognózist felállítani arra nézve, hogy mi fog történni az ilyen folyamatok előrehaladottabb fázisában. Magyarán: a görbe, amiről az eredményeket le szeretnénk olvasni, nem valamiféle szinguláris vonal, melynek futását akár a jövőbe tekintve is több-kevesebb sikerrel követhetjük, hanem egy szamárfarokként szétrojtosodó köteg, melynek az utolsó harmada az igazán érdekes része, vagyis az a fázis, ahol a bojt bozontossá válik. Ugyan igaz az, hogy még itt is a hosszant futó szálakból áll az eredmények felé rohanó végkifejlet dinamikája, de ez a köteg olyan sűrű és annyira szerteágazó, valamint az egyes szálak követését annyira az irracionális számok megfoghatatlansága jellemzi már, hogy elvileg sincs többé mód arra, hogy tájékozódjunk benne.

Azt, amit a kauzalitásra vonatkozólag ehhez hozzáfűzhetek, tulajdonképpen már ki is mondtam ezzel a jellemzéssel. A komplex folyamatok ok-okozat diagramja úgy fog kinézni, hogy az ok egyetlen jól kivehető kezdeti pont lesz. Innen azonban egy olyan hatásgörbe lép ki, amely először csak lassan hasad szálakra, de aztán egyre rohamosabban terül szét, és e szétterülés annyira kompakttá és homogénná válik, hogy mire az okozat síkját eléri, már lehetetlen ott valamilyen kitüntetett pontra találni. Más szóval: az okozat síkján megjelenő képet nem tudjuk részleteiben is megjósolni, hiszen felületének minden egyes pontja egyaránt szóba jöhet majd a várható eredmények szempontjából. (Lásd a következő oldal ábráit.)

(Noha a szakirodalom az ilyen esetekben az “erős kauzalitás megsértéséről” beszél, az okság elve ezzel természetesen még nem csorbult meg, hiszen az ok és okozat sorrendje továbbra is a régi. Legfeljebb csak a rendszerből levonható prognózisok szerepe vált korlátozottabbá. És az ábrára tekintve talán az is érthetővé válik, hogy miért bizonyul az események szála fordított irányban, vagyis az okozattól a kiinduló okra visszatekintve jobban visszakövethetőnek. Ez az aszimmetria a gyakorlatban azt jelenti, hogy a kaotikus rendszerek kiszámíthatatlan viselkedését “utólag” már sokkal racionálisabbnak látjuk, és többnyire kielégítően meg is tudjuk magyarázni. (Ezt példázza az a köznyelvi fordulat is, hogy “könnyű utólag okosnak lenni”)

Ami új, vagy szokatlan ebben a modellben, az elsősorban nem is az, amit a diagram kiad, tehát a komplex rendszerek kusza, kiszámíthatatlan viselkedése, hiszen az ilyen rendszerekkel a mindennapok gyakorlatában már korábban is voltak hasonló tapasztalataink (ezt szoktuk úgy megfogalmazni, hogy soha nem jön be a papírforma). Hanem az, hogy be kell látnunk, hogy a magasabb komplexitású rendszerek jövőjét, végső kifejletét nem a kisebb-nagyobb számítási pontatlanságok miatt szoktuk rosszul kalkulálni, ahogy eddig hittük, hanem azért, mert elvi okai vannak annak, hogy még megközelítő pontossággal sem lehet előre kiszámítani az ilyen rendszerek ok-okozati hatásfonalainak a jövőben elfoglalt pontos helyét vagy numerikus nagyságát.

Analóg példaként utalhatok az időjárásra. Ott sem vagyunk képesek előre megjósolni, hogy milyen lesz az idő egy hónap múlva, mert a prognózist lehetetlenné teszik a közben kaotikus fázissá szétterülő oksági fonalak. Ha mégis érdekel valakit az egy hónap múlva bekövetkező időjárás, akkor nem marad más hátra, mint hogy azt tanácsoljuk neki, hogy legyen türelme kivárni. Egy biztos: időjárás mindig lesz.

Lehet, hogy egyik-másik hallgatóm most arra gondol, hogy amit itt fejtegetek, az tulajdonképpen ugyanaz, mint amit a posztmodern kor életérzéseiről és paradigma-rendszeréről is elmondtam már. Lehet. De mielőtt visszatérnénk korunk jellemzéséhez, hadd foglaljam össze az eddigiekből azt, aminek azért mégis több köze van a matematikához.

Az egyértelmű algebrai és geometriai műveletek mellé, melyek a számolás klasszikus esetei voltak, valamint a nagy számok természetéből következő valószínűségszámítások mellé, amelyek egy sor modernebb probléma statisztikus eredmény-görbéjét adták ki, most egy harmadikfajta eredményelvárás társult, és ennek a vázlatos rajzát már aligha lehetne valamilyen egyértelmű és lineárisan futó kontinuitáshoz hasonlítani. Az a tulajdonsága, hogy a hatásfonalak elvesztik benne világosan kirajzolódó pályájukat. Ami ezértaztán le is szoktat minket arról, hogy a távolabb fekvő számítási eredmények konkrét nagysága vagy minősége felől érdeklődjünk. Ehelyett viszont megtanít arra, hogy néhány eddig kevésbé kultivált területen keressünk megoldást. Mondhatnám, oldalirányba tereli a figyelmünket. Vagyis arra ösztönöz, hogy inkább a jelent kirajzoló adattenger bonyolult struktúrájában próbáljunk tájékozódni.

Ennek a struktúrának a megismerése új viszonyt alakíthat ki köztünk és a világ között, és azzal az érzéssel ajándékozhat meg minket, hogy a végtelen már nem előttünk sejlik föl, ahogy azt az emberiség több ezer éves történelme során mindig is feltételeztük, hanem mellettünk terül el – mi több, esetleg benne vagyunk, hiszen legfontosabb dimenziónk az adatok és a paraméterek jelenvaló sokasága. Mi több, szociális létünkkel és mindennapi tevékenységünk ezer szálával bizonyos mértékig mi magunk képezzük ennek a végtelen struktúrának az anyagát.

Mert bármennyire is távol álljon az átlagembertől a matematika világa, mégis tagadhatatlan, hogy éppen a matematika némely ága és az ezzel rokon diszciplínák tettek képessé minket arra, hogy mozogni és tájékozódni tudjunk ebben a csakugyan végtelen dimenziókat öltő adat-szinkronitásban. Ez a technika az igen sok számmal végzett igen nagy számú műveletek technikája, sok esetben a milliós nagyságrendben megismételt és a közben kapott eredményeket állandóan újra kalkuláló iterációk sora – és máris itt vagyunk a komputerek világánál. A mai átlagember – és mindegy, hogy professzorról vagy az iparban foglalkoztatott technikusról, illetve adminisztrációs munkát végző kisalkalmazottról van szó – munkával töltött idejének jelentős részében ilyen természetű adatokat mozgat, vagy azok között navigál.

Ezért merem azt mondani, hogy ami a komputerek elterjedése óta történt, az sok tekintetben a kopernikuszi világkép megjelenéséhez hasonlítható változással ér fel, csakhogy most teljesen más tartományokban változik meg a szemmértékünk vagy az arányérzékünk. Mint emlékezetes, Kopernikuszt követően az emberek néhány évszázad alatt megtanulták vagy megszokták, hogy a bejárhatatlanul nagy távolságokat elénk terítő természeti világot a jobban áttekinthető földgolyó felületével azonosítsák, illetve, hogy az egészet a könnyen modellezhető, és ha kell, tetszés szerint forgatható glóbusz alakjában képzeljék el. Emlékeztetnem kell rá, hogy ezután még évszázadok múltak el úgy, hogy senki sem látta a földgolyót eredetiben, és ma is csak legfeljebb néhány asztronautáról feltételezhetjük, hogy közvetlen élményük lehet a Föld gömbölyű alakjáról. Mégis, a kopernikuszi modell már réges-rég a vérünkké vált.

Most a fizikai, biológiai és a szociális struktúrák beláthatatlan változatosságával történik valami hasonló dolog. A komputer összezsugorítja, madártávlatba rántja a tengernyi adatot és számítást, és ezzel hozzásegít bennünket ahhoz, hogy egyetlen tekintettel átfogva lássuk, hogy amit eddig a végtelen méretek és a beláthatatlan kombinációk káoszának tartottunk, az ebből a magasságból egy sajátos geometriával tagolt formavilág, ami világosan kirajzolódó formáival és arányaival néha még esztétikusélményt is képes nyújtani. Az egészről pedig nagyon szemléletes képet ad a komputer képernyőjén kirajzolódó fraktálképek világa – ami persze önmagában véve nem más, mint egy olyan műszer, melyet némi merészséggel akár Kopernikusz távcsövéhez is hasonlíthatnánk. Vagy nevezhetnénk olyan, a korábbi elképzeléseinket tökéletesen megváltoztató felismerések modelljének is, mely – ugyanúgy, ahogy az korábban a glóbusszal történt – most szintén közkinccsé vált, és lám, megtalálható minden valamirevaló háztartás asztalán.

Neumann János ezt az újabb kopernikuszi váltást és annak társadalmi méretű kihatásait sejthette meg, amikor a komputer fontosságáról beszélt. Kétségtelen persze, hogy mindaz, amit itt most elmondtam e változással kapcsolatban, elsősorban technikai vonatkozású. Hadd emeljek ki ezért egy olyan mozzanatot is, mely vitathatatlanul tartalmi jellegű, és fontosságát nagyrészt éppen ezen az új “távcsövön” át, vagyis a számítógépek nyújtotta “jobb képfelbontásnak” köszönhetően vehettük észre először.

Az önszerveződés aktusáról van szó, más szóval arról a képességről, hogy bizonyos anyagok, folyamatok és struktúrák ellentmondani látszanak a termodinamika második törvényének, azaz nem az entrópia növekedése (tehát a kiegyenlítődés felé haladó leépülés) az, ami jellemző rájuk, hanem ellenkezőleg, az egyre bonyolultabb struktúrák felé való fejlődés. És ami a legjobban meglepte a kutatókat, az az volt, hogy ez a képesség látszólag teljesen az ilyenfajta folyamatok vagy struktúrák belső tulajdonságának látszott, azaz úgy működött, mintha magától indulna el, és csupán belső törvényszerűségeket követve bonyolódna tovább. Korábban csak az élővilágban figyelhettünk meg ilyenfajta kreatív erőt vagy öntevékeny autonómiát, újabban viszont különböző fizikai és vegyi folyamatokban, illetve az élővilág és a szociológia vagy a közgazdaság eddig véletlenszerűnek hitt struktúráiban is felfedeztek hasonló mintákat követő önszerveződést. Úgy tűnik tehát, az önszerveződés annyira alapvető tulajdonsága a természeti világnak, hogy nem csoda, ha matematikailag is jól általánosítható modelleket és grafikailag is megragadó strukturális mintákat sikerült találni rá.

Bizonyos iterációs számítások, illetve az ezek eredményeit a komputer képernyőjén kirajzoló formák ennek értelmében nem is mások, mint az önszerveződés sematikus ábrákká leegyszerűsített példái. (A “leegyszerűsítés” szó persze nagyon helytelen kifejezés ezeknek a hallatlanul magas szervezettségű alakzatoknak az esetében.) Elég, ha csak újabb és újabb ilyen matematikai folyamatokat indítunk el az iteráció útján, és máris elérhetjük azt, hogy a lehetséges természeti organizmusok vagy szervezetek újabb rajzolatát kapjuk meg eredményül. Sok minden születhet meg így a komputer képernyőjén, ami valamilyen már eddig létező struktúrára vagy élőlényre emlékeztet (hadd említsem meg például a Mandelbrot-halmaz szegélyében található “tengeri csikókat”), de ugyanúgy megvan az esély arra is, hogy olyan alakzatokat kapjunk, melyek lehetségesek ugyan, hiszen van matematikájuk, de idegenszerűek, mert eddig nem volt a természetben konkrét előfordulásuk.

Nem részletezem tovább ezt a világot – számos könyv és képes kiadvány gondoskodik a népszerűsítéséről, viszonylag könnyen utána lehet járni. Amit viszont hangsúlyozni szeretnék, az inkább az, amit a könyvek kevésbé tárgyalnak: Túl e felfedezések fontosságán és túl a menet közben generált képek vizuális szenzációján, az utolsó tíz-tizenöt évben észrevétlenül a vérünkké vált, hogy a nagy számokkal jellemezhető adattengerek óceánján azt keressük, amit korábban a jövőbe kivetítve láttunk: Utópia szigetét, a boldogságot. Nem kell matematikusnak lenni ahhoz, hogy kapcsolatba kerüljünk ezzel a tengerrel, a nagy számok és a kimeríthetetlen adat-változatok színes szinkronitásával. Bárki alkalmat találhat rá akár saját foglalkozásának gyakorlása közben is, és tényleg az a helyzet, hogy egyre többen válnak rabjává annak a szokásnak, hogy elfordulva a jövőtől inkább egy ilyen adattenger vizére szálljanak, és ott hajózva keressenek megoldást.

És talán még abban sem csalódom, ha azt állítom, hogy míg az emberek a számszerűen sokat vagy a strukturálisan bonyolultat kultiválják, tulajdonképpen a komplex rendszerek mélyén rejlő önszervező erő vonzásának engednek, ezt keresik – innen várnak üzenetekre. Így tekintve az Interneten való szörfölés sem más, mint egy újonnan megnyílt lehetőség arra, hogy az emberek kielégíthessék ezt az ösztönösen jelentkező igényüket. Az Internet közönségsikere éppen ebből a szempontból tekintve nevezhető nagyon fontos szociológiai jelenségnek (és ez még akkor is áll, ha különben teljesen igazuk van azoknak, akik az egész divathullámban inkább csak a komputer adta lehetőségek csúnya paródiáját látják).

Elképzelhető azonban, hogy vannak ennek a tartománynak igényesebb és több intellektuális vagy érzelmi kreativitást feltételező területei is. Mivel az adatok végtelen méretű szinkronitása, vagy a feldolgozásukat elősegítő matematikai és elektronikai technikák mind olyanok, hogy ami történik velük (vagy bennük), az csak szuggesztív erejű és a vizualitás minden árnyalatát alaposan kihasználó “kijelzések” útján válhat olvashatóvá, rohamosannövekvő intenzitással tért vissza napjainkban a képek értelmezésének kultúrája. Először csak a televízió kábított el minket a képek özönével, napjainkban azonban már egyre inkább a komputer az, ami előírja számunkra, hogy hogyan kell “látni”. Ennek is megvan persze a maga passzivitásra nevelő formája (a gyerekek nem az Interneten szörfölnek, hanem az elektronikus kalandjátékokon). De mégis igaz az, hogy az elektronika által közvetített képeket lassacskán már nem annyira nézzük, mint inkább olvassuk, ezért aztán a színeket és a formákat is teljesen másként értelmezzük, mint korábban. Több a fogalmi jelentésük, és ezért pontosabb, illetve tényszerűbb az interpretációjuk is.

Egy kicsit a keleti szőnyegek világa tért vissza ezzel a pálfordulással, ahol minden minta vagy ornamens konkrét jelentést hordozott, vagy az aztékok színes zsinórokból font és csomózott quipu-írására emlékeztet a dolog, hiszen itt is összefonódott egymással a fogalmi jelentés és a komplex formákkal operáló vizualitás. Ha egy ilyen kultúrában élünk, akkor idővel annyira belenézzük magunkat a vizuális technikákba, hogy elérkezik az a pillanat, amikor már nem látjuk többé magát a technikát. A szőnyeg ettől a perctől kezdve nem művészet már, és a fonás sem folklór, vagy a könyv sem bibliofil tárgy. Hanem teljesen általános értelemben vett információk forrása.

*

Ezekkel az utolsó mondatokkal tulajdonképpen már többé-kevésbé meg is válaszoltam azt, hogy miért generálok fraktálokat a komputeremen, illetve, hogy miért kötik le érdeklődésemet a nagy szám-sokaságokkal operáló és csak igen sok művelet után célba érő iterációs technikák. A Neumann János-i fordulat szőnyegmintáit vagy titkosírását látom bennük.

Az ilyen módon előállított grafikák kódjának megkeresése és variálása ugyanis végső soron egy glóbusz megalkotásával rokon tevékenység, egy nagyon redukált, de mégis az újonnan felismert törvényszerűségeket demonstráló világmodell megszerkesztése és használata. Elismerem, hogy az ilyen modelleknek bizonyára van egy olyan utópisztikus funkciója is, amely túlmutat a szigorúbb értelemben vett tudományos igazságokon. Biztos vagyok ugyanis benne, hogy menet közben engem is az a hátsó gondolat foglalkoztat, hogy ha sikerül valami “szépet” találnom, akkor ez a világ olyan szerkezetű lesz, hogy “visszaigazol” valami abból, hogy a kezdetek pillanatában befolyással lehettem az alakjára, és ezért – legalábbis mint szemlélő – később is részt vehetek majd a sorsában. Hogy mit fogok eközben látni, az persze nagyon nyitott kérdés, hiszen éppen az teszi a játékot érdekessé és valóság hitelűvé, hogy nincsen olyan módszer, amivel pontos képet kaphatnék ennek a miniatűr rendszernek az autonóm jövőjéről. Ki kell várnom, hogy a saját dinamikáját követve és saját törvényei szerint formálódva érkezzen el az általam jövőnek nevezett iterációs nagyságrend valamelyik kései pontjára.

Ez a rizikó vagy nyitottság az, ami nagyon hasonlít a valóságra. A fraktálgrafikák bizonyos értelemben képesek arra, hogy éljenek, képesek arra is, hogy generálásuk során meglepetésekkel szolgáljanak, és ezzel az igazi világ mostanában megismert arcát, ezt a tökéletesen nyitott, kiszámíthatatlan és minden rizikót megengedő titokzatos arcot ábrázolják. Valahány fraktálkód, annyi ismeretlen jövő. E grafikáknak csak az indító képletét írhatjuk meg. Miután ez kész, és megnyomtuk a startgombot, egy majdnem teljesen kiszámíthatatlan utat követő szerveződés keríti hatalmába őket. Növekedni kezdenek és növekedés közben átalakulnak, elveszthetik minden beléjük plántált jó tulajdonságukat, de előfordulhat az is, hogy fantasztikus meglepetésekkel szolgálnak. Nem marad más hátra, mint feszülten várni, hogy mi minden történik velük, amíg az önszerveződés bonyolult útját járják.

*

A fraktálok szerteágazó családjából az ún. Lindenmayer-rendszerhez tartozó “vonalas fraktálokkal” kezdtem foglalkozni, amelyek az egyszerűbb fraktálok közé tartoznak, hiszen iterálásuk során nem esnek át a bifurkációs diagramra jellemző és az irracionális számok tartományát megidéző változásokon. Ennek ellenére már a kezdeteknél is tökéletesen beláthatatlan, hogy ha megindul az iterálás malma, milyen dinamikára kényszeríti őket a beléjük épített rekurzív mag.

Mind ez ideig csupán egyetlen változatát variáltam a Lindenmayer-fraktáloknak, mégpedig azt a családot, amelynek indító kódja egy összefüggő vonal-láncból áll. Az ilyen rajzolatokban nincsenek tehát sem megszakadások, sem elágazások, a kialakuló forma egyedül a vonal-lánc törésvonalainak a bonyolult szerveződéséből adódik. Valamennyi ilyen fraktálkód a klasszikus fraktálként ismert Koch-görbe mutánsa vagy variánsa, de már az első kísérleteknél elérhetjük azt, hogy a mutánsok külső képe és belső, matematikai tulajdonságai igen messzire kerüljenek a Koch-görbétől.

Vagyis valamennyi általam generált fraktál tulajdonképpen egy defektes Koch-görbe. Azért defektesek, mert alapvető tulajdonságaikhoz tartozik, hogy már az önszerveződés korai fázisában az történik velük, amit az ideális tisztaságot kereső matematikusok nem szívesen engednek meg az ilyen típusú fraktáloknak: metszik és átírják az egyszer már bejárt útvonalaikat. Hálók, parketta-minták és többé-kevésbé zárt vagy nyitott alakzatok állnak így elő, amelyeknek a geometriája csak töredékesen követi a fraktálgeometria ismert törvényeit, hiszen többnyire nem számítható ki a fraktáldimenziójuk sem, és csak igen csonkán érvényesül bennük az önhasonlóság követelménye.

Egy egész sorozat variánsról derült ki például az, hogy néhány iteráció után megáll a szerveződésük, mert olyan a kódjuk, hogy körbeforgó és önmagát újra meg újra megismétlő mozgásra kényszeríti a generált formákat. Az ilyen alakzatokból érdekes mintákat és topológiai tulajdonságokat kiadó rozetták lesznek – és még ezen belül is adódhat olyan meglepetés, hogy némelyik rozetta-alakzat nem marad mindig körkörös szimmetriájú, hanem iteráció közben egy közös középpont körül forgó kettős formát, egyfajta “iker-csillagot” produkál.

Igen sok generált forma a kezdeteknél fölvett alakjának megtartásával növekszik, mások azonban állandóan új és váratlan körvonalakat kiadó formát öltenek. Az érdekesebb morfológiai változásokhoz tartozik az egyugyanazon kódból generált alakzatok esetén annak a jelenségnek a megfigyelése, hogy vannak olyan többféle kombinációt is megengedő szögosztások, amelyek váltakozó szimmetriarendszerhez vezető alakzatokat adnak ki iterálás közben (például 3 és 4 szimmetriatengelyű képek váltják egymást).

Megemlítem még, hogy a legérdekesebb morfológiai változásokat azzal lehet elérni, hogy a “fraktálgenerálás” technikáját a kódokba írt olyan utasításokkal egészítjük ki, amelyek aztán az iterálás során különböző geometriai transzformációkra kényszerítik az egyre növekvő alakzatot (ilyenek a tükrözés, forgatás vagy eltolás stb.). Ezzel a fogással tulajdonképpen azt érjük el, hogy egy további faktorral növeljük az amúgy is bonyolult eredményekre vezető rekurzív technikát. Az a formai gazdagság, amit az eközben megszülető alakzatok nyújtanak, néha lebilincselően érdekes. De idővel az ember mégis belátja, hogy a fraktálszerűen generált grafikák legfigyelemreméltóbb vonása nem az, hogy miként néznek ki, hanem az, hogy az iterálás folyamán miként növekednek, és mi e növekedés “ára”.

Mivel az általam favorizált formák mind olyanok, hogy a képernyőn való kirajzolódásuk közben metszik és átírják önmagukat, illetve megismétlik korábbi pályaszakaszaikat, szükségszerűen elvész közben a megtett út egy része. Vagyis a kirajzolódó forma nem a hatványozás arányában növekszik majd tovább, ahogy azt egyébként a generálás üteme diktálná, hanem attól elmaradva. Ez persze visszahat majd arra is, hogy miként sűrűsödik be egy-egy fraktálalakzat. Ennek a redukciónak a mértékén múlik aztán, hogy valóban sikerül-e eltalálni azokat az optimális arányokat, amelyek révén “szép” vagy érdekes grafikai alakzat születhet – hogy képesek vagyunk-e kreatív erőként kamatoztatni az önszerveződés energiáját. Amikor felismertem ezt a törvényszerűséget, érthető módon megszületett bennem az az igény is, hogy valamilyen paramétérrel mérni tudjam ennek a redukciónak az arányát. De hogyan lehet ilyen paraméterre találni?

Nos, amit keresünk, az a generálás közben felemésztődő, illetve megmaradó pályaszakaszoknak az aránya – mi sem lehet könnyebb, gondolnánk. Ez az arány azonban csak a nagyon egyszerű esetekben, vagy csak a nagyon szabályosan növekvő alakzatoknál adható meg valamilyen elegánsan általánosított képlet formájában.* Ezért aztán többnyire empirikus eszközökhöz kell nyúlnunk, ha ki akarjuk számolni a nagyságát, de megéri a fáradságot, mert a kapott eredmény sokkal jellemzőbb adata lesz a kérdéses grafikának, mint az amúgy is veszendőbe menő, vagy csak igen korlátozottan érvényesülő fraktáldimenzió lehetne. (Ezt az új paramétert “koherenciának” neveztem el, a jele © )

Nevezzük totális F-nek a grafika felépülése során generált pályaszakaszok összességét, és aktuális F-nek ennek a takarások után is megmaradó részét (a takarásba került s ezért veszendőbe menő vonalszakaszok pedig legyenek virtuális F-ek). A keresett arányt ezután többféleképpen is felírhatjuk. Talán az lehetne a legkézenfekvőbb formája, ha normatív értéke © = 1 lenne (vagyis, ha az iterálás folyamán egyetlen F szakasz sem menne veszendőbe, ami csak az önelkerülő fraktálok sajátja). Minden olyan esetben viszont, amikor bizonyos pályaszakaszok veszendőbe mennek, 1-nél nagyobb számot fog kiadni a tört:

©n = Fn total / Fn actual

Mivel az aktuális F-ek száma a magasabb iterációs nagyságrendek felé haladva egyre jobban elmarad a totális F-ek értékétől, a koherencia így felírt értéke a legtöbb generált grafika esetében iterációról iterációra lépve növekszik, ami azon is megfigyelhető, hogy a grafika növekedése lelassul. Egyre több “energiával” (iterációs ráfordítással) egyre kevesebb gyarapodást érünk el a képernyőn. Egyes alakzatoknál a számtani sorhoz közel álló értékeket ad ki ennek a lassulásnak a léptéke, másokra viszont inkább a geometrikus sorok karaktere lesz a jellemző, és ezek lesznek a sokkal lassabban növekvő formák. A rozettáknál pedig egy bizonyos n-edik iteráció után megáll a növekedés, úgy, hogy ez után az “utolsó” iterációs lépés után már nincs is értelme a tört alakját tovább számolni. Ez az utolsó érték lesz a forma koherenciájának a jellemzője.

Ezzel a nagyon kevés matematikával zárom ezt az áttekintést. Azért mertem ide függeszteni, mert bízom abban, hogy a fenti képletre vetett röpke pillantás is többet mond minden körülményes magyarázatnál ahhoz, hogy megértsük, hogy a Lindenmayer-rendszerben generált grafikákra is jellemző az iterálással gyarapodó energiaráfordítás és az ezzel párhuzamosan növekvő entrópia harca, és hogy érdekes utánajárni e tényezők változó arányának. Amely arány természetesen az információelmélet keretein belül is megfogalmazható, és ilyenkor a redundancia értékének, illetve az információk optimumának az eseteiről beszélhetünk.

Nehezen érthető szavak? Csak annyit jelentenek, amennyit már korábban is szóba hoztam: a fraktálgeometriához tartozó alakzatok élő, eleven formák, és bár sok vonásuk még az euklideszi geometria világán belül is jól értelmezhető, mégis, ami igazán szép és érdekes bennük, az csak a dinamikus folyamatoknál megfigyelt törvényszerűségek segítségével írható le sikeresen. Vagyis a glóbusz, amit a manapság kialakuló világkép modellezésére építettem magamnak (képletesen szólva), nem kerek, és nem definiálható más jól ismert konstans formával sem – ez a glóbusz csak a változás és a növekedés folyamatában pillantható meg. Virtuális kiterjedése pedig olyan, hogy még az általunk használt modellnél is a végtelenhez tartó értékeket vehet fel.